Question

求函数的高阶导数值

Answer 1

1.求高阶导数是泰勒公式，或者幂级数的一个主要应用。 主要是利用表达式的唯一性。
2. 一方面，由定义，f（x）＝arctanx 的麦克老林公式中，x^n的系数是：f（n）（0） / n！，f（n）（0）表示在x＝0处的n阶导数。 另一方面，f ' （x）＝1/（1＋x^2）＝∑（－1）^n×x^（2n），
3.所以，f（x）＝∑（－1）^n×x^（2n＋1）/ （2n＋1） 比较两个表达式中x^n的系数，得： 当n为偶数时，f（x）在x＝0处的n阶导数是0； 当n为奇数时，设n＝2m＋1，f（x）在x＝0处的n阶导数是：（－1）^m× （2m）！ 比较两个式子，就可以求出 f(x)=arctanx的n阶导数在x=0处的值。

4.具体的用级数求函数的高阶导数，过程见上图。

Answer 2

待续

追答

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Answer 3

(1).y=x^4+x³+x²+x+1
y'=4x³+3x²+2x+1; y'(0)=1;
y''=12x²+6x+2; y''(0)=2;
y'''=24x+6; y'''(0)=6;
y''''=24. y''''(0)=24.
(2).f(x)=e^(2x-1);
f '(x)=4e^(2x-1); f''(0)=4e^(-1);
(3).y=xlnx

y'=lnx+1; y''=1/x; y'''=-1!/x²; y^(4)=2!/x³; y^(5)=-3!/x^4;
............; y^(10)=8!/x^7.