Question

一道几何数学题。急急急。

如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C。求证：AB+BD=CD。

Answer 1

在CD上取一点E，使得BD=DE
连接AE
∵AD⊥BC，BD=DE
∴直角三角形ADB全等于直角三角形ADE
∴AE=AB，∠B=∠AED
∵∠AED=∠C+∠EAC,且∠B=2∠C
∴∠C=∠EAC
∴三角形AEC为等腰三角形
∴AE=EC
CD=CE+ED=AE+DB=AB+BD
∴AB+BD=CD

Answer 2

在CD上取一点E 使得DE=BD
连接AE
AD⊥BC DE=BD
所以AB=AE
∠ABC=2∠C ，∠A=90度
所以∠BAC+2∠C+∠A=180度
所以∠B=60度 ∠C=30度
所以三角形ABE是等边三角形 AB=AE
∠BAC=90度 ∠BAE=60度
所以∠EAC=30度
所以∠EAC=∠C
AE=EC 又因为AB=AE
所以AB=EC
DE+EC=CD
BD+AB=CD

Answer 3

延长CB到E，使AB=BE，连接AE
则角ABC=2角E
角C=角E
则AC=AE
因为AD⊥BC于D
所以CD=DE=BD+BE=BD+AB
得证

Answer 4

在CD边取点E，使ED=BD，连接AE.
因为AD⊥BC，又DE=DB，AD=AD，所以△ADE全等于△ADB。
所以AE=AB，∠AED=∠B.
又因为∠B=2∠C，所以∠AED=2∠C.
因为∠AED为△AEC的外角，所以∠AED=∠C+∠CAE=2∠C,
所以∠C=∠CAE，所以CE=AE=AB.
所以AB+BD=CE+ED=CD

Answer 5

在CD段取点E，使得BD=DE，连接AE。
因为 AD⊥BC，ED=DB，所以AE=AB。【△ABE是等腰三角型】
又因为 ∠B=∠2C ∠AED=∠B，
所以 ∠AED=∠2C 又∠AED=∠C+∠CAE
所以 ∠CAE=∠C 即AE=EC
又 AE=AB AE=EC 所以AB=EC
因为 ED=DB
所以 AB+BD=CE+ED=CD
故 AB+BD=CD

Answer 6

在CD上取一点E 使得DE=BD
连接AE
AD⊥BC DE=BD
所以AB=AE
∠ABC=2∠C ，∠A=90度
所以∠BAC+2∠C+∠A=180度
所以∠B=60度 ∠C=30度
所以 AB=AE
∠BAC=90度 ∠BAE=60度
所以∠EAC=30度
所以∠EAC=∠C
AE=EC 又因为AB=AE
所以AB=EC
DE+EC=CD
BD+AB=CD