Question

lim f(x)→∞ (1+1/f(x))^f(x)=e，的f(x)可以是任意多项式，可以极限lim下面可

lim f(x)→∞ (1+1/f(x))^f(x)=e，的f(x)可以是任意多项式，可以极限lim下面可以写成例如2x^2+3→0吗，就是一般写的是limx→-3，但是可以写成lim 2x^2+3→0

Answer 1

lim(x→∞)(1+1/x)^x=e总是存在的,如果极限
lim(x→∞)f(x)/x=b也存在,
则lim(x→∞)(1+1/x)^f(x)
= lim(x→∞)[(1+1/x)^x]^[f(x)/x]
=lim(x→∞)[(1+1/x)^x]^[lim(x→∞)f(x)/x)]
=e^[lim(x→∞)f(x)/x)]
=e^b.
这里利用了z=x^y在(e,y)处的连续性,即
lim(x→e,y→b)x^y=[lim(x→e)x]^[lim(y→b)y]=e^b,

追问

不是这个意思，我说的是lim下面可以可以写成是多项式趋近于一个常数，例如lim2x^3+1→0