Question

设k>0,试问k为何值时,方程arctanx-kx=0存在正实根，请问一下这个怎么做

设k>0,试问k为何值时,方程arctanx-kx=0存在正实根，请问一下这个怎么做解答希望详细一点

Answer 1

令f(x)=arctanx-kx,考虑区间[0,+∞).
f'(x)=1/(1+x²)-k
①当k>1时,f'(x)<0,即f(x)在R上是减函数
显然当x=0时,f(x)=0,由f(x)的单调性可知此时函数只有一个零点0,不满足题意.
②当k=1时,令f'(x)=0,得x=0,且当|x|>0时,f'(x)<0,所以f(0)=0不是函数的极值,f(x)在R上递减,同①.

③当0<k<1时,令f'(x)=0,得x=√(1/k-1),当x∈(0,√(1/k-1))时,f'(x)>0,x∈(√(1/k-1),+∞)时,f'(x)<0
∴f(x)先增後减
∵f(0)=0,∴x∈(0,√(1/k-1))时,f(x)>0.
特别地,有f(√(1/k-1))>0
∵lim(x→+∞)f(x)=-∞,∴存在正数X,当x>X时,f(x)<0
取区间(X,+∞)上任意一点x0,则在区间(√(1/k-1),X)上f(x)递减,且满足零点定理的条件
∴f(x)在该区间上有唯一零点,即此时arctanx-kx=0存在正实根.