Question

已知a,b,c都为正数，且a+2b+c=1,则1/a+1/b+1/c最小值

Answer 1

方法1:(1/a+1/b+1/c)(a+2b+c)=(a+2b+c)/a+(a+2b+c)/b+(a+2b+c)/c
=4+(2b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(c/b+2b/c)
用基本不等式定理得
2b/a+a/b>=2根号(2b/a*a/b)=2根号2,当且仅当根号2*b=a时等号成立
c/a+a/c>=2根号(c/a*a/c)=2,当且仅当a=c时等号成立
c/b+2b/c>=2根号(c/b*2b/c)=2根号2,当且仅当根号2*b=c时等号成立
即当且仅当根号2*b=a=c时(2b/a+a/b),(c/a+a/c),(c/b+2b/c)同时取得最小值
所以4+(2b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(c/b+2b/c)的最小值
=4+2根号2+2+2根号2=6+4根号2

方法2:用柯西不等式得(1/a+1/b+1/c)(a+2b+c)>=(1+根号2+1)²=6+4根号2

Answer 2

乘上a+2b+c得的结果再运用均值不等式。结果得6+4倍根号2