Question

如图所示,正方形ABCD中,点E是AD的中点,点F在DC上且DF=1/4DC

如图所示，正方形ABCD中，E是AC的中点，点F在DC上且DF=1/4DC，试判断BE与EF的关系，并说明理由。

Answer 1

BE⊥EF，因为AB/AE=DE/DF=2，而且∠A∠D都为90°，所以△ABE∽△DEF，∠AEB+∠DEF=∠AEB+∠ABE=90°，得出BE⊥EF。

Answer 2

解：设边长为A
BE²=AB²+AE²=A²+（A/2）²=5A²/4
EF²=DE²+DF²=（A/2）²+（A/4）²5A²/16
BF²=BC²+CF²=A²+（3A/4）²=25A²/4
BE²+EF²=BF²
三角形BEF是直角三角形
BE⊥EF

Answer 3

证明：设正方形的边长是1
∵AE=DE=1/2AD=1/2，AB=1,DF=1/4DC=1/4，CF=3/4DC=3/4
∴BE=√(AE²+AB²)=√5/2
EF=√(DE²+DF²)=√5/4
BF=√(BC²+CF²)=5/4
∵BE²+EF²=5/4+5/16=25/16
BF²=25/16
∴EF²+BE²=BF²
∴∠BEF=90°
∴BE⊥EF