Question

怎么求过直线x+y-z=1和x-y+z=0和点M（1,1,-1）的平面方程。

Answer 1

在直线x+y-z=1和x-y+z=0任找两个点，比如取 x₁=1/2，y₁=2，z₁=3/2；x₂=1/2，y₂=5/2，

z₂=2；那么P(1/2，2，3/2)；Q(1/2，5/2，2)；和M(1，1，-1）就能决定所求的平面π；

设过M的平面π的方程为：A(x-1)+B(y-1)+C(z+1)=0..............①

点P在π上，因此有：-(1/2)A+B+(5/2)C=0..............................②

点Q也在π上，因此有：-(1/2)A+(3/2)B+3C=0........................③

关于A、B、C的线性方程组有非零解的充要条件是：

展开此三阶行列式就是所要求的平面π的方程。

Answer 2

设平面束方程为
a(x+y-z-1)+(x-y+z)=0
因为过点（1,1，－1）
所以
2a-1＝0
a=1/2
所以平面为：(1/2+1)x+(1/2-1)y+(-1/2+1)z-1/2=0
即3x-y+z-1=0

追问

所以 2a-1=0是怎么得出来的？

追答

点（1,1，－1）代入a(x+y-z-1)+(x-y+z)=0