Question

怎么快速判断幂级数的收敛和发散

Answer 1

利用阿贝尔定理：

1、如果幂级数在点x0处（x0不等于0）收敛，则对于适合不等式|x|<|x0|的一切x使这幂级数绝对收敛。

2、反之，如果幂级数在点x1处发散，则对于适合不等式|x|>|x1|的一切x使这幂级数发散。

如果幂级数不是仅在x0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，那么必有一个确定的正数R存在，使得

（1）当|x|小于R时，幂级数绝对收敛；

（3）当|x|大于R时，幂级数发散；

（3）当|x|等于R时，幂级数可能收敛也可能发散。

扩展资料：

幂级数的和函数的性质：

性质一：幂级数的和函数s（x）在其收敛域I上连续。

性质二：幂级数的和函数s（x）在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式

逐项积分后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。

Answer 2

幂级数Σa_n*x^n（n从0到+∞）在收敛半径之内绝对收敛，在收敛半径之外发散。在收敛区间端点上有可能条件收敛、绝对收敛或者发散。
所以面对一个幂级数应该首先求出它的收敛半径，然后判断收敛区间端点上的敛散性。
而因为区间端点对应确定的x值，此时的幂级数就变成了一个数项级数，因此按照数项级数的审敛准则来判断敛散性，例如p-级数、交错级数等。