Question

o是平面上的一点，A B C是平面上的不共线的三个点，动点P满足OP向量=OA向量+λ（AB向量/AB向量的模 + AC向

o是平面上的一点，A B C是平面上的不共线的三个点，动点P满足OP向量=OA向量+λ（AB向量/AB向量的模 + AC向量/AC向量的模） P的轨迹一定通过三角形ABC的内心 WHY?

Answer 1

首先要理解：
向量AB/|向量AB|的意义：表示与向量AB同向的单位向量e1，
同理，向量AC/|向量AC|的意义：表示与向量AC同向的单位向量e2，

其次理解向量加法的几何意义：
向量AB/|向量AB|+向量AC/|向量AC|表示以e1和e2为邻边的平行四边形的对角线所对应的向量，
又因为向量e1与向量e2都是单位向量，所以此时的平行四边形为菱形，而菱形的对角线平分对角，所以λ（向量AB/|向量AB|+向量AC/|向量AC|）表示与角BAC的平分线共线的向量，

又向量OP-向量OA=向量AP，
∴向量AP与角BAC的平分线共线，
即AP是角BAC的平分线，
而三角形的内心为角平分线的交点，
∴三角形的内心在AP上，即P的轨迹一定通过三角形的内心.