Question

设A是m*n矩阵，A的秩为r(＜n)，则齐次线性方程Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为___。

设A是m*n矩阵，A的秩为r(＜n)，则齐次线性方程Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为___。(或其空间是___维的) 要有过程，谢谢

Answer 1

设A是m*n矩阵，A的秩为r(＜n)，则齐次线性方程Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为n-r，即n-r维空间。过程如下：

因为矩阵A的秩为r(＜n)，那么系数矩阵A中有r个线性无关的向量，那么n个未知数就有r个独立的方程能够确定，就剩下了n-r个自由未知数，因此可以张成n维空间，基础解系中就需要有n-r个线性无关的解向量。

基础解系是线性无关的，简单的理解就是能够用它的线性组合表示出该方程组的任意一组解，是针对有无数多组解的方程而言的。基础解系不是唯一的，因个人计算时对自由未知量的取法而异，但不同的基础解系之间必定对应着某种线性关系。

扩展资料：

基础解系和通解的关系

一、对于一个方程组，有无穷多组的解来说，最基础的，不用乘系数的那组方程的解，如（1，2，3）和（2，4，6）及（3，6，9）以及（4，8，12）......等均符合方程的解，则系数K为1，2，3，4.....等，因此（1，2，3）就为方程组的基础解系。

二、A是n阶实对称矩阵，假如r(A)=1.则它的特征值为t1=a11+a22+...+ann,t2=t3=...tn=0；对应于t1的特征向量为b1，t2~tn的分别为b2~bn。

三、此时，Ax=0的解就是k2b2+k3b3+...+knbn；其中ki不全为零。由于:Ax=0Ax=0*B,B为A的特征向量，对应一个特征值的特征向量写成通解的形式是乘上ki并加到一起。这是基础解系和通解的关系。

参考资料来源：百度百科-基础解系

Answer 2

因为 r(A)=r
所以 Ax=0 的基础解系含 n-r 个解向量.
对Ax=0 的任一个解向量,都可由它的任意n-r个线性无关的解向量线性表示
(否则这 n-r+1个解线性无关,与A的基础解系含n-r个向量矛盾)
所以 它的任意n-r个线性无关的解向量线性表示

追答

定理：若n元齐次线性方程组的AX=0的系数矩阵的秩为r(A)=r,则AX=0的基础解系中所含解向量的个数为n-r.

Answer 3

哈哈没人会。