导函数在某点极限存在则原函数在这一点肯定可导,那导函数极限不存在

导函数在某点极限存在则原函数在这一点肯定可导,那导函数极限不存在能推出原函数在这点不可导么?还有函数在某点可导不能推出导函数在这点极限存在吧?导函数极限存在,原函数可导,... 导函数在某点极限存在则原函数在这一点肯定可导,那导函数极限不存在能推出原函数在这点不可导么?还有函数在某点可导不能推出导函数在这点极限存在吧?导函数极限存在,原函数可导,有什么联系等等,能举个例子解释一下么?谢谢大神!!!急求帮忙!! 展开
 我来答
sumeragi693
高粉答主

2017-01-06 · 说的都是干货,快来关注
知道大有可为答主
回答量:3.8万
采纳率:79%
帮助的人:1.7亿
展开全部
注意导函数极限定理的前提条件是,f(x)在x0的某个邻域连续,去心邻域可导.不要光记住结论,要记完整一句话好吗?
在这个前提下,如果导函数f'(x)在x0处有极限,那么f(x)在x0处必可导,并且导数就等于f'(x)的极限.这个定理说明如果f'(x)在某点有极限,则f'(x)在该点必连续,所以又叫做导函数连续定理.
这个定理的否命题是假的,即在大前提条件不变的情况下,导函数在某点不存在极限,不代表原函数在该点不可导.
例如f(x)=x²sin(1/x),x≠0.f(x)=0,x=0.这是一个分段函数,由于lim(x→0)f(x)=有界函数乘以无穷小=0=f(0),因此f(x)在R上是连续的.
当x≠0时,f'(x)=[x²sin(1/x)]'=2xsin(1/x)-cos(1/x).显然当x→0时,f'(x)极限不存在,但根据导数的定义,f'(0)=lim(x→0)[f(x)-f(0)]/(x-0)=lim(x→0)xsin(1/x)=0,即f(x)在x=0处可导.所以否命题为假.
由于命题与其逆否命题等价,所以导函数在某点不存在极限,则原函数在该点不可导这句话是假的,那么原函数在某点可导,则导函数在该点存在极限也是假的.这句话恰好是导函数连续定理的逆命题,逆命题为假,因此导函数极限存在只是原函数在该点可导的充分条件,而不是必要条件.
匿名用户
2017-01-06
展开全部
导函数在某点极限存在则原函数在这一点肯定可导

这一条就不成立啊
例如函数
f(x)=x²/x,其实这个函数就是分段函数f(x)=x(x≠0)
这个函数的导函数是f'(x)=1(x≠0)
很明显,导函数在x=0处的极限是1,但是x=0是原函数f(x)=x²/x的间断点,不可导。
所以导函数在某点极限存在则原函数在这一点肯定可导,这句话完全错误。
更多追问追答
追问
那导数极限定理说的是什么事?老师说导数极限定理是导数存在的充分非必要条件,我真搞不懂,😭😭😭
追答

看看导数极限定理的条件。原函数f(x)在x0的某领域内连续

有这个前提,定理才成立

而我给出的f(x)=x²/x,在x=0点处不连续,所以不满足该定理的前提。该定理也就不成立了。

所以运用定理,必须考虑定理的前提条件。不能无限运用。

本回答被提问者采纳
已赞过 已踩过<
你对这个回答的评价是?
评论 收起
推荐律师服务: 若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询

为你推荐:

下载百度知道APP,抢鲜体验
使用百度知道APP,立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×

类别

我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。

说明

0/200

提交
取消

辅 助

模 式