Question

定义在R上的函数f（x),对任意的x、y∈R，有f（x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f（0）不等于0，求证f(x)为偶函数

Answer 1

令y=0
则有f（x）+f（x）=2f（x）f（0）
f（0）不等于0
得到f(0)=1

再令x=0
则有f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)
得f(y)=f(-y)
所以f(x)为偶函数

Answer 2

令x=0,y=0
代入得2f（0)=2[f（0)]^2,
所以f（0)=0（舍）或1
f（0）=1
再令x=0,带入到f（x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),
有f（y)+f(-y)=2f(y),
所以f(-y)=f(y),对y∈R成立，所以为偶函数