Question

已知函数f(x)=(ax^2+bx+c)e^x,其中e为自然数对数的底数，a,b,c为常数，若函数f(x)在=-2处取得极值

（1）且x趋向于0时lim [(f(x)-c)/x] =4时 求实数b.c的值
（2）且x趋向于0时lim [(f(x)-c)/x] =4时若函数f(x）在区间【1，2】上是增函数，求实数a的取值范围

Answer 1

（1）由f(x)=(ax^2+bx+c)e^x可知f(0)=c，而x趋向于0时lim [(f(x)-c)/x]=[(f(x)-f(0))/(x-0)]=f(x)在x=0处的导数，因此对f(x)求导得其导数的表达式为：(2ax+b)e^x+(ax^2+bx+c)e^x，将x=0代入，得：b+c=4；又因为f(x)在x=-2时取极值，因此f(x)在x=-2处的导数为零，将x=-2代入其导数表达式中，得b-c=0,因此b=c,又b+c=4,所以b=c=2。
（2）由（1）知f(x)=(ax^2+2x+2)e^x,其导数为：(2ax+2)e^x+(ax^2+2x+2)e^x=[ax^2+(2+2a)x+4]e^x。因为函数f(x）在区间【1，2】上是增函数，所以其导函数在区间【1，2】上大于零，由于e^x>0恒成立，因此只需令ax^2+(2+2a)x+4>0即可。为此求函数g(x)=ax^2+(2+2a)x+4的导数：2ax+2+2a并令其为零，得x=(a+1)/a=1+1/a。
若a<0，则1+1/a<1只需令两端点处的函数值即g(1)与g(2)大于零即可，得：
-1<a<0;
若a>1，则1<1+1/a<2，此时抛物线g(x)开口向上，只需令g(1+1/a)>0即可，得：a>1;
若0<a<1，则1+1/a>2，此时令g(1)与g(2)大于零，得：0<a<1。
当a+0,1，-1时，g(x)>0也成立。
综上，a的取值范围是：a>-1。

思路是这样，供你参考吧。