Question

1、如图所示，平行四边形ABCD中，AB=5cm,BC=3cm，∠D与∠C的平分线分别交AB于F，E，求AE,EF,BF的长。要过

2、上题中改变BC的长度，其他条件保持不变，能否使点E,F重合，点E，F重合时BC长多少？求AE，BE的长。

Answer 1

证明1：分别过E,F作EM‖AD于M,FN‖AD于N
∵ABCD是平行四边形,EM‖AD,FN‖AD
∴EBCM,FNDA均是平行四边形
∵∠MCE=∠BCE,∠EMC=∠EBC,EC=EC
∴⊿EMC≌⊿EBC
∴EM=EB
∴EBCM是菱形
同理可证：FNDA是菱形
∴EB=BC=3㎝,FA=AD=BC=3㎝
∴AE=AB-EB=2㎝,BF=AB-FA=2㎝
EF=AB-AE-BF=5-2-2=1㎝
证明2：当E,F重合
AE=AF=BE=BF=BC
∵AB=5㎝=AE+BE
∴AB=2BC,BC=2.5㎝
∴AE=BE=2.5㎝

Answer 2

(1)解：
∵DF是角平分线
∴∠ADF=∠CDF
∵AB‖CD
∴∠CDF=∠AFD
∴∠AFD=∠ADF
∴AF=AD=BC=3cm，
BF=AB-AF=5-3=2cm
同理可得BE=BC=3cm
∴EF=BE-BF=3-2=1cm

(2)
点E，F重合时
由(1)可得
AE=AD=3，BE=BC=3
∴AB=3+3=6cm

Answer 3

1、因为ABCD为平行四边形，则∠C+∠D=180度，做∠D，∠D的平分线，则可得三角形ADF和BCE为等腰三角形，则AF=BE=3cm，AF+BF=5cm，可得AE=BF=2cm，EF=1cm
2、改变BC长度，使得EF重合，即AE=BE=BC=AB/2=2.5cm。
3、可以想到∠C=2∠D=120度，三角形CDE为直角三角形和AE=BE=BC=AB/2

Answer 4

0.0