Question

既是“奇函数”又是“偶函数”的函数有哪些？

Answer 1

f(x)=C(c是常数)，当c≠0的时候，f(x)只是偶函数，不是奇函数。f(x)只满足f(-x)=f(x)的要求，不满足f(-x)=-f(x)的要求。所以既是奇函数，又是偶函数的函数只有一类，那就是f(x)=0，且定义域关于原点对称，这类函数就既满足f(-x)=f(x)的要求，也满足f(-x)=-f(x)的要求。所以既是奇函数，也是偶函数。

证明方法：

1. 因为f(x)既是奇函数，也是偶函数，所以定义域关于原点对称。

2. 当x=0的时候，如果f(x)有定义，因为f(x)是奇函数，即f(0)=-f(-0)成立，即f(0)=-f(0)成立，得到f(0)=0。

3. 当x≠0的时候，因为f(x)是奇函数，有f(x)=-f(-x)成立；因为f(x)也是偶函数，所以f(x)=f(-x)。

4. 所以f(x)=-f(-x)和f(x)=f(-x)同时成立，就得到f(x)=-f(x)，所以f(x)=0。

   所以f(x)就是恒等于0，且定义域关于原点对称的函数。