Question

驻点、极值点和拐点

是驻点不一定是极值点。如：f(x)=x3,f'(0)=0,x=0是驻点，不是极值点。
是极值点，不一定是驻点，比如导数不存在的点。
那么是否可以说，若x0是驻点，但是不是极值点的话，(x0,f(x0))必是拐点？

Answer 1

未必比如分段函数f(x)=根号x（0≤x≤1）
=1（x>1）
在x=1处，尽管导数值为零，但是（1，1）既不是（严格）极值点，也不是拐点
首先要明确可导函数极值充分条件
f'(x0)=0且f''（x0）不等于0
可导函数拐点充分条件
f''(x0)=0且f'''（x0）不等于0
对于你的问题，应该这样考虑
对于可导函数来说，若x0是驻点，但是不是极值点的话，可以考虑这样一种情况
f'(x0)=0，且f''（x0）=0,但我们不知道f'''（x0）是否等于0，因此不能必然的推出你的结论

你的猜测显然是错的。不过一楼给的例子也不好，至少来说(1,1)确实是极值点，还不足以否定命题。

下面对分段函数f(x)=x^4*sin(1/x)，x不等于0
=0 x=0
f'(0)=0 是满足的
用理论说会比较复杂，我直接用图像来说

他的图像在 x=0的任意邻域内都会在X轴上下震荡无限次，有点类似于正弦函数 只不过它的振幅越来越小 无限趋近于0 而他又是一个奇函数 你就可以类比正弦函数来想想他的图像 显然不会是极值点 而拐点的定义是凹凸的分界点 x=0的任意邻域内 他的凹凸性质都可以改变无数次 所以，x=0也不是凹凸的分界点
也就不是拐点

Answer 2

你的猜测显然是错的。不过一楼给的例子也不好，至少来说(1,1)确实是极值点，还不足以否定命题。

考察f(x)=x^4*sin(1/x)，补上可去不连续点f(0)=0，那么f'(0)=0，但(0,0)不是极值点也不是拐点。

Answer 3

你们的分段函数在0处根本不可导，我很想知道你们是怎么从分析它的导数给人家解答的！