Question

设f(x)是定义域在R上的函数，且对于任意x,y∈R，恒有f(x+y)=f(x)f(y),且x＞0,0＜f(x)＜1.

证明：（1）f(0)=1且x＜0时，f(x)＞1:；
（2）f(x)是R上的单调减函数。

Answer 1

证明：
（1）令x=0，y=1得f(0)=1,
令y=-x,得f(0)=f(x)f(-x)=1
当x＜0时-x<0,f(-x)∈（0,1）
∴ f(x)=1/f(-x)>1
（2）设 x1<x2,则f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1)
∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)∈（0,1）
∴f(x2)<f(x1)
∴ f(x)是R上的单调减函数。