设f(x)是定义域在R上的函数,且对于任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)f(y),且x>0,0<f(x)<1.

证明:(1)f(0)=1且x<0时,f(x)>1:;(2)f(x)是R上的单调减函数。... 证明:(1)f(0)=1且x<0时,f(x)>1:;
(2)f(x)是R上的单调减函数。
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lujungp
2010-10-24 · TA获得超过339个赞
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证明:
(1)令x=0,y=1得f(0)=1,
令y=-x,得f(0)=f(x)f(-x)=1
当x<0时-x<0,f(-x)∈(0,1)
∴ f(x)=1/f(-x)>1
(2)设 x1<x2,则f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1)
∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)∈(0,1)
∴f(x2)<f(x1)
∴ f(x)是R上的单调减函数。
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