Question

求幂级数收敛域

Answer 1

第一问 lim(n->无穷) (1/√n)^(1/n)=1，所以在(-1,1)必收敛，x=1，∑1/√n发散，x=-1，∑(-1)^n/√n由莱布尼茨法知道收敛，故收敛域[-1,1)
第二问 lim(n->无穷) (1/n*2^n)^(1/n)=0.5，R=1/0.5=2 所以在(-1,3)必收敛； x=3，∑1/n发散，x=-1，∑，∑(-1)^n/n 由莱布尼茨法知道收敛，故收敛域[-1,3)
第三问 lim(n->无穷) [x^(2n+1)/2^(n-1)]^(1/n)=x^2/2，另极限小于1，解得x在（-√2，√2）收敛，x=±√2，原式每项绝对值为2√2，不趋于零一定发散，所以收敛域（-√2，√2）