Question

如图，已知在三角形ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于F

1.如图，已知在三角形ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于F
（1）求证；△ABC相似△FCD
（2）若S△FCD=5，BC=10，求△ABC的边BC上的高AG及ED的长
2．已知，梯形ABCD中，AD平行BC，BD相交于O，已知S△AOB=12，S梯形ABCD=49，则AD：BC=（）

Answer 1

Answer 2

1)证明：ad=ac，所以∠acb=∠adc
d为bc中点，de⊥bc，所以de是bc的垂直平分线，∠ecb=∠ebc。
△abc与△fcd，∠acb=∠fdc，∠abc=∠fcd，所以△abc∽△fcd
2）△abc∽△fcd，所以df/ac=dc/cb，因为ac=ad，而dc=1/2bc，所以df=1/2ac=1/2ad.

s△fcd=5，底边cd=5，过f作bc的垂线，垂足为g，过a作bc的垂线，垂足为h。
所以1/2*5*fg=5，fg=2，因为df=1/2ad，而fg∥ah，故ah=4
dg=1/2dh，所以de/ah=bd/bh=bd/(bd+1/2bd)=2/3
故de=8/3

Answer 3

（1）BD=DC
ED垂直于BC，可得BE＝CE，角B＝角ECD，
又AD＝AC，所以角ADC＝角ACD，
得证
（2）由相似可知AD＝2DF，S△ABC＝20
F是中点，S△AEF＝S△DEF
S△ABC＝2S△BDE＋S△ACE
＝15＋3S△DEF
所以S△DEF＝5/3
接下来DE＝2S△BEC/BC＝4/3