Question

一道几何题目

Answer 1

过E点做⊙I的切线分别交AB、AC于G、H,AB、AC与⊙I的切点分别为J、K.
①DE为⊙I的直径=>GH平行BC=>△ABC相似于△AGH=>△ABF相似于△AGE、△AFC相似于△AEH
②AJ、AK、GH为⊙I的切线=>GE=GJ、HE=HK、AJ=AK=>△AGE周长=△AEH周长
③由①、②=>△ABF周长=△AFC周长
④由③、AF为公共边、AJ、AK为⊙I的切线=>BJ+BF=CF+CK
由④、BC为⊙I的切线=>2BD+DF=2CD-DF=>BD+DF=CD=>BF=CD=>BD=CF

Answer 2

过E作GH⊥DE分别交AB、AC于G、H；令⊙I分别与AB、AC切于M、N。
∵DE是⊙I的直径，GE⊥DE、HE⊥DE，∴GE、HE分别切⊙I于E。
∵GM、GE是⊙I的切线，∴由切线长定理，有：GE＝GM。
∵HN、HE是⊙I的切线，∴由切线长定理，有：HE＝HN。
∵AM、AN是⊙I的切线，∴由切线长定理，有：AM＝AN，∴AG＋GM＝AH＋HN，
∴AG＋GE＝AH＋HE。······①
－－－－－
∵BD切⊙I于D、DE是⊙I的直径，∴BD⊥DE，又GE⊥DE，∴BD∥GE，
∴AG/AB＝GE/BF＝（AG＋GE）/（AB＋BF）。······②
∵EH∥FC，∴AH/AC＝HE/CF＝（AH＋HE）/（AC＋CF）。······③
由①②③，得：AB＋BF＝AC＋CF，∴AM＋BM＋BF＝AN＋CN＋CF，
∴BM＋BF＝CN＋CF。······④
－－－－－
∵BM、BD是⊙I的切线，∴由切线长定理，有：BM＝BD。······⑤
∵CN、CD是⊙I的切线，∴由切线长定理，有：CN＝CD。······⑥
由④⑤⑥，得：BD＋BF＝CD＋CF，∴BD＋（BD－DF）＝（CF－DF）＋CF，
∴2BD＝2CF，∴BD＝CF。