Question

已知函数f(x)=mx³+3x²-3x,m属于R,(1)若函数f(x)在x=-1处取得极值，并求f(x)在点M(1,f(1))处的切

已知函数f(x)=mx³+3x²-3x,m属于R,(1)若函数f(x)在x=-1处取得极值，并求f(x)在点M(1,f(1))处的切线方程(2)设m<0,若函数f(x)在(2,正无穷)上存在单调递增区间，求m取值范围

Answer 1

f'(x)=3mx^2+6x-3
所以f'(-1)=0
所以3m-9=0
m=3
所以f(x)=3x^3+3x^2-3x
(1)切线方程为f'(1)=12
f(1)=3
所以方程为y-3=12(x-1)
即y=12x-9
(2)令f(2)<f(x) (x属于2,正无穷)
3x^3+3x^2-3x<8m+6
3x^3+3x^2-3x-8m-6<0
3x(x^2+1/2)^2-15x/4-8m-6<0
因为x>2,3x>0
所以-15x/4-8m-6<0
m>-(15x+24)/32)
因为x>2
所以m>-27/16
所以 -27/16<m<0

Answer 2

先对f(x)求导带入x=-1,f(x)导数为0可求得m=-1，从而可求得函数表达式
（1）将x=1带入f(x)表达式求出切点坐标（1，-1），将x=1带入f(x)导函数得切线斜率k=0，知道切点和斜率即可写出切线方程为y=-1