Question

设f(x)在闭区间[0,A]上连续，且f(0)=0.如果f'(x)存在且为增函数（0<x<A),试证函数F(x)=f(x)/x也是增函数

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Answer 1

这个简单吧，F’（x）=[xf'(x)-f(x)]/x^2,设g(x)=[xf'(x)-f(x)]'=xf''(x).由于f(x)在[0，A]上的导数存在且为增函数，说明f(x)在[0，A]上的二阶导数大于0，于是g(x)大于0，F(x)=f(x)/x是增函数

Answer 2

F’（x）=[xf'(x)-f(x)]/x^2 令g(x)=xf'(x)-f(x) 则g'(x)=[xf'(x)-f(x)]'=xf''(x)
因为f'(x)为增函数，则f''(x)>0,所以g'(x)>0,所以g(x)在[0,A]上为增函数，又g(0)=0,所以g(x)>0,
所以F'(X)>0，所以，F(X)为增函数