Question

设a,b,c∈R,且c≠0，证明：（a+b）^2<=(1+c^2)a^2+(1+1/c^2)b^2

1、设a,b,c∈R,且c≠0，证明：（a+b）^2<=(1+c^2)a^2+(1+1/c^2)b^2
2、若a，b∈R，求证：||a|-|b||<=|a+b|<=|a|+|b|

Answer 1

(1)(a+b)^2=a^2+b^2+2ab
右边展开
a^2+b^2+b^2/c^2+a^2c^2
即要证明2ab<=b^2/c^2+a^2c^2
利用均值不等式有b^2/c^2+a^2c^2>=2ab当且仅当b/c=ac 即b/a=c^2时
等号成立
(2)将等式平方有
||a|-|b||^2=|a^2+b^2-2|a||b|
|a+b|^2=a^2+b^2+2ab
当a或者b<0的时候2ab=-2|a||b|当a或者b等于0的时候也一样。当a或者b同号时，-2|a||b|<2ab 所以||a|-|b||<=|a+b|
|a+b|=-a-b或者a-b 或者b-a 或者a+b
假设-a-b最大，则a<0,b<0 |a|+|b|=|-a-b|(1)
假设a-b最大，则a>0,b<0 |a|+|b|=|a-b|(2)
假设b-a最大，则a<0,b>0,|a|+|b|=|b-a|(3)
假设a+b最大，则a>0,b>0,|a|+|b|=|a+b|(4)
(1)(4)都是|a|+|b|=|a+b|的情况
(2)中|a+b|在b<=0的时候|a+b|<=|a-b| 所以有|a|+|b|>=|a+b|
(3)中|b-a|在a<=0的时候|a+b|<=|b-a| 所以有|a|+|b|>=|a+b|

Answer 2

利用反证法
证：假设（a+b）^2<=(1+c^2)a^2+(1+1/c^2)b^2成立
有a^2+2ab+b^2<=a^2+a^2c^2+b^+b^2/c^2
合并得a^2c^2+b^2/c^2-2ab>=0
即（ac-b/c)^2>=o
因为c不等于0
所以（ac-b/c)^2>=o恒成立
所以假设成立，即原式（a+b）^2<=(1+c^2)a^2+(1+1/c^2)b^2成立

Answer 3

昨天上午，门头沟法院裁定,grey paisley uggs，5人均构成重大环境污染犯罪，陶被判处3年零6个月,uggs ultra tall，30000元，卢江Ksiaobing Iongkiang罚款和被判处缓刑和罚款，吴建华和蜀势力免予刑事处罚,ugg classic tall stripe cable knit。

我呼吁，说：这个判决后驼鹿。但是这一次,ugg paisley boots sale，对母亲站在出席区道喊道：我已要求上诉，然后开始哭了起来。

其余四名被告也表示，他们没有提出上诉。

■停止

五是在民事索赔80300000

门头沟王副检察长介绍了中国Ksuedong气象科学研究院，环境评估中心，两个合同段砾石坑对污染控制的需要80.3万元,suburb crochet ugg boots，作为长期的环境造成污染损害,cable knit ugg boots，将远远超过100亿元。市检察机关正在调查是否应当承担相关部门的责任。 污水处理有一定的责任，至少有一个公民的责任。

Answer 4

如果|a+b|=|a|+|b|，那么__a与b同号或者a与b中至少有一个0____。（填“ab≥0”也可以）

一个数大于另一个数的绝对值，则这两个数的和是。 ( A ）
A正数 B负数 C零 D和的符号无法确定

a＞|b|,所以a+b＞|b|+b≥0。（|b|+b≥0，这个通过对b的讨论很容易证明）

|3.14-π|=__π-3.14___。（∵π≈3.1415826…＞3.14）