Question

一道高中反函数的题目。

求y=loga(x+根号下(x^2-2))（a>1)的反函数
( a是底数 ）
要过程的。。。

Answer 1

注意到[x+√(x^2-2)][ x-√(x^2-2)]=x^2-(x^2-2)=2,
所以1/[x+√(x^2-2)]= [ x-√(x^2-2)]/2
y=loga(x+√(x^2-2))
x+√(x^2-2)=a^y,……①
两边取倒数得：
1/[x+√(x^2-2)]= a^(-y),
即：[ x-√(x^2-2)]/2= a^(-y),
x-√(x^2-2)=2 a^(-y),……②
①＋②得：2x= a^y+2a^(-y)
X=1/2 a^y+a^(-y)
互换x,y得：y=1/2 a^x+a^(-x).这是反函数的解析式。
真数必须大于0，所以x+√(x^2-2)>0,解得x≥√2
从而x+√(x^2-2) ≥√2+0=√2，
因为a>1，所以 loga(x+√(x^2-2)) ≥loga√2=1/2 loga2
故原函数值域为[1/2 loga2,+∞），所以反函数定义域为[1/2 loga2,+∞）。
∴所求反函数为y=1/2 a^x+a^(-x). x∈[1/2 loga2,+∞）