Question

【1.】如图,AB是圆O的直径若OD//AC，弧CD与弧BD有什么关系，为什么？【2.】把【1】中的条件与结论交换一下

还能成立吗，说明理由

Answer 1

（1）弧CD=弧BD
证明：连接并延长CO交圆O于E
因为OD//AC，所以∠DOA=∠OAC，∠C=∠DOE
因为OA=OC，所以∠OAC=∠C，所以∠DOA=∠DOE
因为∠AOC=∠BOE，所以∠AOC+∠DOA=∠BOE+∠DOE，所以∠COD=∠BOD
所以弧CD=弧BD
（2）仍成立
因为弧CD=弧BD，所以∠COD=∠BOD，所以∠AOC+∠DOA=∠BOE+∠DOE
因为∠AOC=∠BOE，所以∠DOA=∠DOE
因为弧AE上∠AOE=2∠C=∠DOA+∠DOE，所以2∠C=2∠DOE，∠C=∠DOE
所以OD//AC

Answer 2

1.弧CD是弧BD的一半
连结OD,角BOD=2角A
因为OD//AC，所以角A=角BOC,所以角DOC=角BOC,
所以弧DC=弧BC,所以弧CD是弧BD的一半
2.若弧CD是弧BD的一半，则OD//AC成立
因为弧CD是弧BD的一半，所以弧DC=弧BC
所以角DOC=角BOC，所以角BOD=2角BOC
又因角BOD=2角A,所以角BOC=角A
所以OD//AC