Question

一道导数题

Answer 1

(1)
f'(x) = -3x²e^x + (a - x³)e^x = (-x³ - 3x² + a)e^x
其中e^x > 0, f'(x)的符号取决于-x³ - 3x² + a, 令g(x)＝-x³ - 3x² + a
g'(x) = -3x² - 6x = -3x(x + 2) = 0, x = 0或x = -2
x < -2时, g(x)为减函数, -2 < x <0时, g(x)为增函数, 不需考虑x≥0时的情况。
x = -2时, g(x)取最小值: g(-2) = 8 - 12 + a = a - 4
要使f'(x)在(-∞, 0)上为增函数, 只需g(x)的最小值a - 4≥0即可，即a的最小值为4

(2)
从(1)中的结果, g(x) = -x³ - 3x² + 2, g'(x) = -3x(x + 2) = 0, x = 0或x = -2 (不必考虑后者).
x > 0时, f(x)为减函数, 在[0, 1]上, f(1) = e为最小值
h(x) = (lnx)/x +2
h'(x) = (1 - lnx)/x² = 0, x = e > 1
在[0, 1]上, h'(x) > 0为增函数, 其最大值为h(1) = 2, 与f(x)在此区间内的最小值还小, 所以原式成立。