Question

三角函数题

求函数（sin^2x）×（cosx）的最大值

Answer 1

原式=(1-cos^2x) ×cosx = -cos^3x+cosx，换元法换cosx=t，注意此时-1≤t≤1。原式=-t^3+t，求导得-3t^2+1，令其为0，解得极值为-√3/3和√3/3，判断导函数的正负性可得，√3/3处取极大值，且√3/3在[-1, 1]范围内，所以t=√3/3时，原函数取最大值，代入后得最大值为2√3/9。

Answer 2

y=（sin^2x）×（cosx）
=（1-cos^2x）×cosx
=-cos^3x+cosx
令a=cosx,则 y=-a^3+a 其中(-1<=a<=1)
y'=-3a^2+1
当-1<=a<=-√3/3时，y'<=0,函数 y=-a^3+a递减
当-√3/3<=a<=√3/3时，y'>=0,函数 y=-a^3+a递增
当√3/3<=a<=1时，y'<=0,函数 y=-a^3+a递减
所以当a=-1时，y=0;当a=√3/3时，y=2√3/9.
所以当x=arccos√3/3时，（sin^2x）×（cosx）有最大值2√3/9.

Answer 3

y=（sin²x）×（cosx）
y²=(sin²x)²×(cosx)²= sin²x •sin²x •cos²x
= sin²x •sin²x •2cos²x•(1/2)
≤[(sin²x +sin²x +2cos²x)/3]³ •(1/2)=4/27.
函数y的最大值是√(4/27)=2√3/9.
(sin²x =2cos²x时取到最大值)