Question

对于定义域为【0,1】的函数f(x),如果同时满足对任意的x属于【0,1】，总有f(x)>=0,f(1)=1,若x1>=0 x2>=0

x1+x2<=1,都有f(x1+x2)>=f(x1)+f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数。问：若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值 判断函数g(x)=2^x-1(x属于【0,1】）是否为理想函数，并予以证明 若函数f(x)为理想函数，假定x0属于【0,1】，使得f(x0)属于【0,1】，且f(f(x0))=x0 求证f(x0)=x0

Answer 1

f（0）=0，令x1=0，x2=1得f（0）<=0,由于f(x)>=0，所以。。。。。
g（x）是理想函数，g(x1+x2)-g(x1)-g(x2)=（2^x1-1）（2^x2-1）>=0
第三个问题很纠结！

Answer 2

1.求f(0)的值：
由题得 f(0+1)>=f(0)+f(1)
得0>=f(0)
但函数f(x)为理想函数
所以f(0)>=0
所以得到f(0)=1
2.证明：
当x属于[0，1]时显然g(x)>=0（这你应该会吧）
所以只要证明当x1>=0 x2>=0且x1+x2<=1时
f(x1+x2)>=f(x1)+f(x2)成立
任取a,b属于[0,1](a,b就是x1,x2)
只需证2^(a+b)-1>=2^a+2^b-2，两边都+2
即2^a*2^b+1>=2^a+2^b
即(2^a -1)*(2^b -1)>=0，显然成立（和上面一样）
所以g(x)=2^x-1是理想函数
3. 证明：
为了看起来简明，令x0=x,f(x0)=y
题中所给条件即为f(y)=x，又因为f(x)=y
所以f(x)关于y=x对称
又因为f(x1+x2)>=f(x1)+f(x2)，且f(x2)>=0
可得f(x)单调递增
同时满足f(x)关于y=x对称和f(x)单调递增的只有y=x这条直线
即f(x0)=x0

Answer 3

xf（0）=0，令x1=0，x2=1得f（0）<=0,由于f(x)>=0，所以。。。。。
g（x）是理想函数，g(x1+x2)-g(x1)-g(x2)=（2^x1-1）（2^x2-1）>=0

Answer 4

x