Question

求不定积分～

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Answer 1

令x=sint，则dx=costdt
原式=∫cost/(sint+cost)dt
令A=∫cost/(sint+cost)dt，B=∫sint/(sint+cost)dt
则A+B=∫(sint+cost)/(sint+cost)dt=∫dt=t+C
A-B=∫(cost-sint)/(sint+cost)dt=∫d(sint+cost)/(sint+cost)=ln|sint+cost|+C
两式联立，得：A=[t+ln|sint+cost|]/2+C
原式=[arcsinx+ln|x+√(1-x^2)|]/2+C，其中C是任意常数

Answer 2

令x＝siny，
则：√（1－x^2）＝√［1－（siny）^2］＝cosy，
y＝arcsinx，
dx＝cosydy。
原式＝∫［cosy/（siny＋cosy）］dy
＝∫｛cosy（cosy－siny）/［（cosy）^2－（siny）^2］｝dy
＝∫［（cosy）^2/cos2y］dy－∫（sinycosy/cos2y）dy
＝（1/2）∫［（1＋cos2y）/cos2y］dy－（1/2）∫（sin2y/cos2y）dy
＝（1/4）∫（1/cos2y）d（2y）＋（1/2）∫dy－（1/4）∫（sin2y/cos2y）d（2y）
＝（1/2）y＋（1/4）∫［cos2y/（cos2y）^2］d（2y）＋（1/4）∫（1/cos2y）d（cos2y）
＝（1/2）arcsinx＋（1/4）∫｛1/［1－（sin2y）^2］｝d（sin2y）＋（1/4）ln｜cos2y｜
＝（1/2）arcsinx＋（1/4）ln｜1－2（siny）^2｜
＋（1/4）∫｛1/［（1＋sin2y）（1－sin2y）］｝d（sin2y）
＝（1/2）arcsinx＋（1/4）ln｜1－2x^2｜
＋（1/8）∫［1/（1＋sin2y）］d（sin2y）＋（1/8）∫［1/（1－sin2y）］d（sin2y）
＝（1/2）arcsinx＋（1/4）ln｜1－2x^2｜＋（1/8）∫［1/（1＋sin2y）］d（1＋sin2y）
－（1/8）∫［1/（1－sin2y）］d（1－sin2y）
＝（1/2）arcsinx＋（1/4）ln｜1－2x^2｜＋（1/8）ln｜1＋sin2y｜
－（1/8）ln｜1－sin2y｜＋C
＝（1/2）arcsinx＋（1/4）ln｜1－2x^2｜＋（1/8）ln｜1＋2sinycosy｜
－（1/8）ln｜1－2sinycosy｜＋C
＝（1/2）arcsinx＋（1/4）ln｜1－2x^2｜＋（1/8）ln｜1＋2x√（1－x^2）｜
－（1/8）ln｜1－2x√（1－x^2）｜＋C

Answer 3

分母有理化然后用第二类换元法，不用我写具体过程了吧。。。