Question

初三数学综合题，关于坐标和圆

如图已知A(1，根号3），B（-1,0），过A、B、O三点的圆与y轴的另一个交点为C，求1..∠AOB的度数。2.四边形ACBO的周长和S四ACBO。3.DA切这个圆于点A，交x轴于点D，求D点坐标。

Answer 1

解：
(1)
∵A坐标为(1,√3）
∴tan∠AOD=√3
∴∠AOD=60°
∠AOB=180°-∠AOD=120°

（2）设过ABO三点的圆心为F
∵A、O、B、C四点共圆
∴∠BCA=∠AOD=60°
∴COB=90°
∴CB为⊙F的直径
∴∠CAO=90°

在Rt△ABC中，
∵∠BCA=60°
直角边AB=√（xA-xB)²+（yA-yB)²=√7
∴BC=AB/sin60°=2√21/3
AC=ABctg60°=√21/3
而AO=√(x²A+y²A)=2
BO=|xB|=1
∴四边形ACBO的周长=BC+AC+AO+BO=√21+3

S四边形ACBO=S(Rt△ABC)+S△ABO
=AB*AC/2+BO*yA/2
=(√7*√21/3)/2+1*√3/2
=5√3/3

(3)
在Rt△ABO中，
CO=√(CB²-BO²)=5√3/3
故C坐标为(0,5√3/3)
而B坐标为(-1,0)
BC为圆F直径
故圆心F为BC中点
F坐标为（-1/2，5√3/6）
而A坐标为（1，√3）
设AF直线方程为y=kx+b，将F、A两点坐标代入
可得k=2√3/3,b=√3/3
∴直线AF方程为y=2√3/3x+√3/3x

设AD直线方程为y=k1x+b1
∵AD切圆F于A，∴AD垂直半径FA
∴k1*k=-1
得k1=-√3/2
则AD直线方程为y=-√3/2x+b1
将A（1，√3）代入，可求得b1=3√3/2
AD直线方程为y=-√3/2x+3√3/2
当y=0时，可得x=3/2
∴D点坐标为(3/2,0)

Answer 2

1.∵A（1，根号3）
∴Tan∠AOD=1/根号3
∴角AOD=60度
∴角AOB=120度
2.设圆心为Q（a，b）,C(0,y)
QA=QB=QO=QC
∴（0-a）^2+(0-b)^2=(-1-a)^2+(0-b)^2=(1-a)^2+(根号3-b)^2=(0-a)^2+(y-b)^2
解得a=-1/2,b=根号3/2
y=0或2根号3
∴C（0，2根号3）
Sacbo=2根号3 Cacbo=2+1+根号13+2=5+根号13
3.AB：y=根号3/2x+根号3/2
与AB相垂直的直线解析式为：y=-（2/3）根号3x+b
带入A（1，根号3）
b=（5/3）根号3
与x轴交点D（5/2，0）

Answer 3

cosAOD=1/2 AOB=120°
OB=AC=1 BC=3 S=1+1+3+2=7
圆心E EAD=90°EAB=EBA=30° BAO=30°
OAD=30°
OAD为直角三角形
D（1,0）