Question

非齐次方程求通解

Answer 1

特征方程为r²+4=0，得r=±2i
故齐次方程y''+4y=0的通解为
y=C1 cos2x +C2 sin2x
因为±i不是特征方程的根，故可设特解为y*=(ax+b)sinx+(cx+d)cosx
则y*'=asinx+(ax+b)cosx+c cosx-(cx+d)sinx=(a-d-cx)sinx+(ax+b+c)cosx
y*''=-c sinx+(a-d-cx)cosx+acosx-(ax+b+c)sinx=(-ax-b-2c)sinx+(-cx+2a-d)cosx
带入原方程y''+4y=xcosx得
(3ax+3b-2c)sinx+(3cx+2a+3d)cosx=xcosx
故3a=0，3b-2c=0，3c=1，2a+3d=0
得a=0,b=2/9,c=1/3,d=0
故y*=2/9 sinx +x/3 cosx
故原方程的通解为
y=C1 cos2x +C2 sin2x +2/9 sinx +x/3 cosx

Answer 2

猜测y=Axcosx+Bxsinx+Ccosx+Dsinx;
代入之后求出ABCD；
齐次部分容易得到C1 cos2x +C2 sin2x

Answer 3

非齐次线性方程组求通解