非齐次方程求通解
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特征方程为r²+4=0，得r=±2i
故齐次方程y''+4y=0的通解为
y=C1 cos2x +C2 sin2x
因为±i不是特征方程的根，故可设特解为y*=(ax+b)sinx+(cx+d)cosx
则y*'=asinx+(ax+b)cosx+c cosx-(cx+d)sinx=(a-d-cx)sinx+(ax+b+c)cosx
y*''=-c sinx+(a-d-cx)cosx+acosx-(ax+b+c)sinx=(-ax-b-2c)sinx+(-cx+2a-d)cosx
带入原方程y''+4y=xcosx得
(3ax+3b-2c)sinx+(3cx+2a+3d)cosx=xcosx
故3a=0，3b-2c=0，3c=1，2a+3d=0
得a=0,b=2/9,c=1/3,d=0
故y*=2/9 sinx +x/3 cosx
故原方程的通解为
y=C1 cos2x +C2 sin2x +2/9 sinx +x/3 cosx
故齐次方程y''+4y=0的通解为
y=C1 cos2x +C2 sin2x
因为±i不是特征方程的根，故可设特解为y*=(ax+b)sinx+(cx+d)cosx
则y*'=asinx+(ax+b)cosx+c cosx-(cx+d)sinx=(a-d-cx)sinx+(ax+b+c)cosx
y*''=-c sinx+(a-d-cx)cosx+acosx-(ax+b+c)sinx=(-ax-b-2c)sinx+(-cx+2a-d)cosx
带入原方程y''+4y=xcosx得
(3ax+3b-2c)sinx+(3cx+2a+3d)cosx=xcosx
故3a=0，3b-2c=0，3c=1，2a+3d=0
得a=0,b=2/9,c=1/3,d=0
故y*=2/9 sinx +x/3 cosx
故原方程的通解为
y=C1 cos2x +C2 sin2x +2/9 sinx +x/3 cosx
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富港检测技术（东莞）有限公司_
2024-04-02 广告
非齐次线性微分方程两个特解的差是其对应的齐次线性微分方程的解 (1-x^2)、(x-x^2)线性无关，可以作为对应的齐次线性微分方程的通解 1，x，x^2任一个都可以作非齐次线性微分方程的特解 C1(1-x^2)+C2(x-x^2)+x^2...
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猜测y=Axcosx+Bxsinx+Ccosx+Dsinx;
代入之后求出ABCD；
齐次部分容易得到C1 cos2x +C2 sin2x
代入之后求出ABCD；
齐次部分容易得到C1 cos2x +C2 sin2x
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非齐次线性方程组求通解
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