Question

关于定积分换元法换积分限的问题，谢谢！

比如被积函数是 ∫(1+sinx)dx x的范围是[0，2π]
如果我换元 t=1+sinx 那么 x=0时t=1，x=2π时t=1，
但是 (1+sinx) 在 [0，2π] 上 t 的值域是 [0，2]
那么如果这样换元，积分限到底是 [1，1] 还是 [0，2]
谢谢！
这样做可能是麻烦了，但是我问这个题的目的是想问一下这种情况下积分限该怎么做，而不是问这个题怎么做，就是说这种原变量积分上下限带入之后不是新变量的上下限，新变量的上下限在其他点处取得，该怎么做，谢谢！！

Answer 1

这个题目不需要换元,你用换元法的目的是什么?
用积分的线性性质分开来求解是很简单的
当你这样换元后,不仅要考虑积分上下限的问题,
还要把x转换成t的函数,然后才能计算微分dx,
x是t的反正弦三解函数,比题目中原有的正弦函数更复杂一些.
换句话说:你把简单的换元成复杂的,有这个必要吗?

Answer 2

第二类换元法有很多约束条件，你没有考虑到你这样的换元法将违反条件， 换元函数必须是单值函数，而这里你的反三角函数在区间内是单值函数么，明显不是。。。这真是工科人的悲哀。。。

Answer 3

此题不能用换元法做。你令t=sinx 1时，即要令x=arcsin(t-1),否则你下面求导没法继续，而反三角函数范围与x不相同，也就是说，此题只能在x在（0,pi/2),上换元，这样做很麻烦，基本做不下去，不过理论上就是这样。

Answer 4

应该是从0到2，从2到0两部分。这时你应该把它分成两部分，一个是当x在［0，pi］，那一部分为［pi，2*pi］，因为你如果你是那样的话，你所用的1不清楚是哪个值得来的，做这种题目就根据定积分的几何意义～面积。

Answer 5

换元后的函数在此区间内不是单调的，无法求dx以t表示的表达式，就像一个函数y=f(x)，x是y的单值函数是才有导数。。。。只有划分成几个区间，使其都单调，显然麻烦死了。对吧！！