Question

讨论分段函数的连续性

详细看下图希望把过程写在纸上然后拍给我

Answer 1

都过去一年了，看到给的答案不正确，给出我的答案。

思路是，先求出反函数f’(x),再证lim(x->0)f’(x)=f‘（0）是否成立。

求f’(x)

当x不等于0时，因是初等函数，在定义域内可导，直接用求导法则，有

f’(x)=(xarctan(1/x²))'=arctan(1/x²)-2x²／1+（X四次方）

当x=0时，必须用定义f’(x)=lim(x->0)f(x)-f(0)/x-0=xarctan(1/²)/x=π/2

证lim(x->0)f’(x)=f‘（0）

lim(x->0)f’(x)=lim(x->0){arctan(1/x²)-2x²／1+（X四次方）}=π/2=f’(0)

即lim(x->0)f’(x)=f‘（0）成立

所以f'(x)在x=0处连续。

Answer 2

f(0)=f(0-) = e^(-1/2)
f(0+)
=lim(x->0) { (1+x)^(1/x)/e }^(1/x)
=lim(x->0) { e^[ln(1+x)/x] /e }^(1/x)
=lim(x->0) { e^[(x-(1/2)x^2)/x] /e }^(1/x)
=lim(x->0) { e^[1-(1/2)x] /e }^(1/x)
=lim(x->0) { e^[-(1/2)x] }^(1/x)
=e^(-1/2)
=f(0-)
=>
x=0 , f(x) 连续