微分中值定理与导数的应用中的一道题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,试证明对任意给定的正数a及b,在(0,1)内存在不相等的x1,x2,使a/f‘(x1)+b...
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,试证明对任意给定的正数a及b,在(0,1)内存在不相等的x1,x2,使
a/f‘(x1)+b/f’(x2)=a+b
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a/f‘(x1)+b/f’(x2)=a+b
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由于a>0,b>0,因而有0<a/a+b<1,即f(0)<a/a+b<f(1),由连续函数的介值定理有
f(c)=a/a+b,0<c<1 (1)
对f(x)在[0,c]与[c,1]上分别应用拉格朗日中值定理,有
f(c)-f(0)=f‘(x1)c, 0<x1<c<0
f(1)-f(c)=f‘(x2)(1-c),0<c<x2<1
即f(c)-f(0)=f‘(x1)c (2)
1-f(c)=f‘(x2)(1-c) (3)
由(1)和(2)得c=[a/f‘(x1)]*(1/a+b) (4)
把(1)和(4)代入(3),得
b/(a+b)=f‘(x2)[a+b-a/f‘(x1)]*(1/a+b)
整理化简即b/f‘(x2)=a+b-a/f‘(x1),因此
a/f‘(x1)+b/f‘(x2)=a+b
f(c)=a/a+b,0<c<1 (1)
对f(x)在[0,c]与[c,1]上分别应用拉格朗日中值定理,有
f(c)-f(0)=f‘(x1)c, 0<x1<c<0
f(1)-f(c)=f‘(x2)(1-c),0<c<x2<1
即f(c)-f(0)=f‘(x1)c (2)
1-f(c)=f‘(x2)(1-c) (3)
由(1)和(2)得c=[a/f‘(x1)]*(1/a+b) (4)
把(1)和(4)代入(3),得
b/(a+b)=f‘(x2)[a+b-a/f‘(x1)]*(1/a+b)
整理化简即b/f‘(x2)=a+b-a/f‘(x1),因此
a/f‘(x1)+b/f‘(x2)=a+b
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