Question

设X上的关系R和S是自反的,试证明 R和S的复合是自反的？

Answer 1

证明如下：

若R与S是集合A上的自反关系，则任意x∈A,＜x,x＞∈R,＜x,x＞∈S,

复合关系的定义是:设R为X到Y的关系，S为从Y到Z的关系。

则RoS称为R和S的复合关系，表示为  RoS＝{|x∈X∧z∈Z∧(彐y)(y∈Y∧∈R∧∈S)}

从而＜x,x＞∈RoS,注意x是A的任意元素，所以RoS也是集合A上的自反关系．

在逻辑学和数学（离散数学）中，集合X上的二元关系R是自反的，若所有a属于X，a关系到其自身。数学上表示为：对于任何a∈A，总有aRa，即任何a∈A，使得（a,a）∈R，则称集合A上的关系R是自反的。例如："大于等于"是种自反关系，但"大于"不是自反关系。

自反关系举例：

"等于"（等于）

"是……的子集"（集合的包含）

"小于等于"和"大于等于"（不等）

"除"（整除）

满足传递性的自反关系称为预序关系。满足反对称性的预序关系称为偏序关系。满足对称性的预序关系称为等价关系。