Question

高中几何题

已知等腰三角形ABCD中，AD平行BC，AC垂直BD，并且有AD+BD=10，DE垂直于E，求DE的长

Answer 1

(1)
证明：以D为坐标原点，DA、DS、DC的方向分别作为x、y、z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz。
因为在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥平面ABCD，AD=根号2，
DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°
所以，A(根号2,0,0)，B(根号2,2,0)，C(0,2,0),D(0,0,0),S(0,0,2)
由已知，设M(0,p,q)，其中p0，q0
所以，向量BA=(0,-2,0)，向量BM=(-根号2,p-2,q)，
向量BA，向量BM=∠ABM=60°
所以，向量BA×向量BM=2(2-p)，向量BA的模=2，向量BM的模=根号[(p-2)^2+q^2+2]
所以，cos向量BA，向量BM=cos60°=0.5
所以，（向量BA×向量BM）÷（向量BA的模×向量BM的模）=0.5
所以，2(2-p)÷{2根号[(p-2)^2+q^2+2]}=0.5
即(2-p)÷根号[(p-2)^2+q^2+2]=0.5
因为在平面直角坐标系zDy中，S(0,0,2)、M(0,p,q)、C(0,2,0)三点共线
所以，SM的斜率=MC的斜率
所以，(q-2)÷p=q÷(p-2)
所以，p+q=2
即p-2=-q，2-p=q
所以，q÷根号[(-q)^2+q^2+2]=0.5
所以，q=1
所以，p=1
所以，M(0,1,1)
由中点坐标公式，得
SC中点坐标也为(0,1,1)
所以，M是侧棱SC的中点。
(2)
解：
设E、F分别是AM、SA的中点，连结BE、EF、BF，则FE‖SM
因为AM=2
且AB=2，∠ABM=60°
所以，△ABM是等边三角形
所以，BE⊥AM
因为SA=AC=根号6
所以，SM⊥AM
且FE‖SM
所以，FE⊥AM
所以，二面角S—AM—B的平面角为∠FEB
因为E(2分之根号2,0.5,0.5)，F(2分之根号2,0,1)，B(根号2,2,0)
所以，向量EF=(0,-0.5,0.5)，向量EB=(2分之根号2,1.5,-0.5)
所以，向量EF×向量EB=-1，向量EF的模=2分之根号2，向量EB的模=根号3
所以，
cos向量EF，向量EB
=（向量EF×向量EB）÷（向量EF的模×向量EB的模）
=-3分之根号6
所以，∠FEB=向量EF，向量EB=π-arccos3分之根号6

Answer 2

这题目有问题把，ABCD是四边形。
不是三角形

Answer 3

如图，EF//CA，易知FBED为正方形。

若是AD+BC=10，则DE=5.

若是AD+BD=10，则DE=？？ （好像计算不出来）