Question

求定积分∫(0 2)1/√4+x²dx

求定积分∫(0 2)1/√4+x²dx请教大神求∫(0 2)1/√4+x²dx

Answer 1

如图，第一步到第二步是公式

Answer 2

设x=2tant，t=arctan（x/2），x=0~2，t=0~π/4；
dx=2sec²tdt
原积分=
∫（0，π/4）1/2√（1+tan²t）.2sec²tdt
=∫（0，π/4）1/2sect.2sec²tdt
=∫（0，π/4）sectdt
在用万能置换公式：设u=tan（t/2），u=0~tan（π/8），t=2arctanu，dt=2/（1+u²）.du
sect=（1+u²）/（1-u²）
=∫（0，tan（π/8））（1+u²）/（1-u²）.2/（1+u²）.du
=∫（0，tan（π/8））2/（1-u²）.du
=∫（0，tan（π/8））[1/(1-u)+1/(1+u)]du
=[-ln(1-u)+ln(1+u)]（0，tan（π/8））
=ln[(1+u)/(1-u)]（0，tan（π/8））
=ln[(1+tan（π/8）)/(1-tan（π/8）)]
=ln[(1+tan²（π/8）+2tan（π/8）)/(1-tan²（π/8）)]
=ln[(1+tan²（π/8）)/(1-tan²（π/8）)+2tan（π/8）/(1-tan²（π/8）]
=ln[sec（π/4）+tan（π/4）]
=ln(√2+1）