Question

第十六题能不能用建系法做?

Answer 1

方法一：
∵ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°。
∵E是BC的中点，∴∠ADE＜∠ADC＝90°，
∴弧ADE是△AED外接圆的优弧，∴点P在优弧ADE上。
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∵ABCD是正方形，∴∠ABE＝90°，又AB＝8，∴BE＝4，
∴由勾股定理容易得出：AE＝4√5。
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令△AED的外心为O，分别取AD、AE的中点为F、G。
∵三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，∴OF⊥AD、OG⊥AE。
∵ABCD是正方形，∴AF⊥AG，又OF⊥AF、OG⊥AG，∴AGOF是正方形，
∴AF＝OG＝4，∴O在EF上。
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∵E、F分别是正方形ABCD对边的连线，∴EF＝AB＝8。
设△AED外接圆的半径为r，则：OF＝EF－OF＝8－r，自然有：OA＝r，
∴由勾股定理，有：OA^2＝AF^2＋OF^2，∴r^2＝16＋（8－r）^2，
∴r^2－（8－r）^2＝16，∴［r＋（8－r）］［r－（8－r）］＝16，∴8（2r－8）＝16，
∴r＝5。
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以下证明点P在GO的延长线与弧ADE的交点。
在弧ADE上，任取点P外的一点Q，过Q作QH⊥AE交AE于H，再过O作OR⊥QH交QH于R。
容易得出：OGHR是矩形，∴OG＝RH、∠QRO＝90°。
在Rt△QRO中，自然有：OQ＞QR，又OP＝OQ，∴OP＞QR，
∴OP＋OG＞QR＋RH，∴PG＞QH。
∵AE＝4√5，∴当△AEP的边AE上的高最大时，△AEP的面积最大，
∴当△AEP面积最大时，PG就是△AEP边AE上的高。
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由勾股定理，有：OA^2＝AG^2＋OG^2，∴25＝20＋OG^2，∴OG＝√5，
∴PG＝OP＋OG＝5＋√5，
∴△AEP的最大面积＝（1/2）AE·PG＝（1/2）×4√5×（5＋√5）＝10＋10√5。
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方法二：建系法
以A为原点、AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标第，使点C落在第一象限中。

容易得出经下点的坐标：A（0，0），D（0，8），E（8，4）。
设△AEP的外接圆方程为：（x－a）^2＋（y－b）^2＝r^2，显然有：a、b都是正数。
∵A（0，0）、D（0，8）在圆（x－a）^2＋（y－b）^2＝r^2上，
∴a^2＋b^2＝r^2，且a^2＋（8－b）^2＝r^2，∴b＝8－b，∴b＝4。
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∵A（0，0）、E（8，4）在圆（x－a）^2＋（y－4）^2＝r^2上，
∴a^2＋16＝r^2，且（8－a）^2＋0＝r^2，∴a^2＋16＝（8－a）^2＝64－16a＋a^2，
∴16a＝64－16，∴a＝4－1＝3。
∴r^2＝a^2＋b^2＝9＋16＝25。
∴△AEP的外接圆方程是：（x－3）^2＋（y－4）^2＝25。
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不失一般性，设点P的坐标为（3＋5cosθ，4＋5sinθ）。
很明显，AE的斜率＝｜BE｜/｜AB｜＝4/8＝1/2，
∴AE的方程是y＝（1/2）x，即x－2y＝0。
令△AEP边AE上的高为h。
由点到直线间的距离公式，有：h＝｜3＋5cosθ－8－10sinθ｜/√（1＋4），
∴h＝√5｜1＋2sinθ－cosθ｜。
自然，当（2sinθ－cosθ）取最大值时，h最大。
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引入辅助角u，使cosu＝2/√5、sinu＝1/√5，则：
2sinθ－cosθ＝√5［（2/√5）sinθ－（1/√5）cosθ］＝√5sin（θ－u），
∴（2sinθ－cosθ）的最大值是√5，∴h的最大值＝√5（1＋√5）＝5＋√5。
∴△AEP的最大面积＝（1/2）｜AE｜·h＝（1/2）×4√5（5＋√5）＝10＋10√5。