Question

大一高等数学微分方程

设y=y(x)在[-1,1]上具有二阶连续导数，且满足方程(1-x²)y''-xy'+ay=0(a=1或a=-1),作自变量变换x=sint,求y作为t的函数应满足的方程，并求y(x) 如图

Answer 1

dy/dt=dy/dx*dx/dt=dy/dx*cost
d^2y/dt^2=d(dy/dt)/dt=d(dy/dx*cost)/dt=d^2y/dx^2*cos^2t-dy/dx*sint
代入原方程，得：d^2y/dt^2+ay=0
当a=1时，d^2y/dt^2+y=0
特征方程r^2+1=0，r=±i
y=C1*cost+C2*sint=C1*√(1-x^2)+C2*x，其中C1,C2为任意常数
当a=-1时，d^2y/dt^2-y=0
特征方程r^2-1=0，r=±1
y=C1*e^t+C2*e^(-t)=C1*e^(arcsinx)+C2*e^(-arcsinx)，其中C1,C2为任意常数