Question

一道平面几何题

在三角形ABC中，D,E,F分别是AB,BC,AC的中点，DM、DN分别是三角形CDB和三角形CDA的角平分线，MN交CD于点O.，EO、FO的延长线分别交AC、BC于Q、P.
求证：PQ=CD

Answer 1

证明：延长DN，DM，EF，DM交FE与点K，DN交EF与点L,
由DN，DM为叫CDA和CDB的角平分线，则角MDN=90，
BM／MC＝BD/CD AN／NC＝AD/CD 所以BM／MC＝AN／NC
所以MN平行AB，OM=ON,易证DKCL为矩形，
故CD＝KL 由梅涅劳斯定理有： QN/NC*MC/ME*MO/ON=1 (1)
DM/MC *NC/FC*ON/OM=1;(2)
有（1）（2）得故QN／NC＝DM／MC 所以PQ//MN
所以PQ AB MN EF四线平行
MN/PQ =NC/QC=NC/(QN+NC)=1/(QN/NC+1)=1/(ME/MC+1)=MC/(ME+MC) （3）
MN/CD =MN/CD=BM/BE （4）
化简计算（3） （4）得（3）=（4）
故PQ=CD