Question

一道高中数列题

已知{an}是公差不为0的等差数列,{abn}是公比为q的等比数列,且b1=1,b2=5,b3=17,求数列{bn}的前n项和Sn

Answer 1

设{an}首项为a1，公差为d（d不等于0），
所以an=a1 +（n-1）d 1
{abn}是公比为q的等比数列,且b1=1,b2=5,b3=17
因此，a1*a17=a5的平方 2

解1,2式，得 a1=2d
{abn}是公比为q的等比数列 所以abn=a1*q的 n-1 次方 3
又因为abn=a1+（bn-1）d = a1+（bn-1）a1/2 4

解3,4式，得 bn+1=2*q的n-1次方
检验b1+1=2符合上式
因此{bn+1}为公比为q，首项为2的等比数列，代入b1，b2，得q=3
设Tn为{bn+1}的前n项和

因此Tn=3的n次方 - 1
检验首项，符合上式

因此Sn=3的n次方 - 1 - n
ps：纯属个人理解，不见得对；而且，表达得不太好，还请海涵……

Answer 2

设等差数列首项为a，公差为d，则第一项、第五项和第17项分别为a、a+4d、a+16d，这三项成等比数列可得（a+4d）的平方=a（a+16d）
展开求解得，a=2d，所以等差数列通项公式可以表示为an=2d+（n-1）d=（n+1）d
等差数列第一项为2d，第五项为6d，第十七项为18d，所以q=3,
abn=2d*3的（n-1）次方=（bn+1）d
得到bn的通项公式bn=2*3的（n-1）此方-1
求bn的前n项和可以把bn分成两个部分，第一部分为等比数列，第二部分为-1常数列，分别求和再相加
最后得到bn=3的n次方-n-1
验算S1=1,S2=1+5=6,S3=1+5+17=23发现很完美，呵呵