Question

已知 如图 在三角形ABC中角C等于90°CM垂直AB于点M AT平分角BAC交CM于点D交BC于点T 过点D作DE平行AB交BC于

已知 如图 在三角形ABC中角C等于90°CM垂直AB于点M AT平分角BAC交CM于点D交BC于点T 过点D作DE平行AB交BC于点E求证 CT等于BE

Answer 1

过E 作EH垂直于AB,交AB于H,
过D作DG垂直于AC,交AB于G,
过T作TF垂直于AB交AB于F,
可以证明CD=BE,
由于AT是角BAC的平分线，角ADM=90-角A的一半,角ADM=角CDT（对顶角）,
角ATC=90-角A的一半，有三角形CDT是等腰三角形，CD=CT,

三角形ATF,ATC全等，DE平行于AB,
角DEC=角B,角DCE=角A,角FTB=角A,CT=FT,(角平分线定理)，CD=TF,
RT△DEC≌RT△FBT,CE=TB,
CT=CE-TE,
BE=TB-TE,所以CT=BE.

还有一种方法可证明CT=BE,即证明△CDG全等△BEH,

EH=DM=DG,角GCD=角B，EH=DM=DG,可知△CDG全等△BEH,
可证明RT三角形CDG全等于RT三角形EBH,则CD=BE
已证明，三角形DCT为等腰三角形，CD=CT

所以CT=BE.

Answer 2

证明：
在三角形ABC中∠C=90°，CM⊥AB于点M AT平分角BAC交CM于点D交BC于点T ，过点D作DE‖AB交BC于点E。

过T做TF⊥AB交AB于F。则CT=FT
∵∠TAC+∠ATC=∠DAM+∠ADM=90°
∴∠ADM=∠ATC=∠TDC
∴△TDC中CD=CT
∵∠DEC=∠FBT
∴△DEC≌△FBT
∴CE=TB
TE=TE
∴CT=BE

Answer 3

过E 作EH垂直于AB,交AB于H,
过D作DG垂直于AC,交AB于G,
过T作TF垂直于AB交AB于F,
可以证明CD=BE,
由于AT是角BAC的平分线，角ADM=90-角A的一半,角ADM=角CDT（对顶角）,
角ATC=90-角A的一半，有三角形CDT是等腰三角形，CD=CT,

三角形ATF,ATC全等，DE平行于AB,
角DEC=角B,角DCE=角A,角FTB=角A,CT=FT,(角平分线定理)，CD=TF,
RT△DEC≌RT△FBT,CE=TB,
CT=CE-TE,
BE=TB-TE,所以CT=BE.

还有一种方法可证明CT=BE,即证明△CDG全等△BEH,

EH=DM=DG,角GCD=角B，EH=DM=DG,可知△CDG全等△BEH,
可证明RT三角形CDG全等于RT三角形EBH,则CD=BE
已证明，三角形DCT为等腰三角形，CD=CT

所以CT=BE

Answer 4

过T做TF⊥AB交AB于F。则CT=FT
∵∠TAC+∠ATC=∠DAM+∠ADM=90°
∴∠ADM=∠ATC=∠TDC
∴△TDC中CD=CT
∵∠DEC=∠FBT
∴△DEC≌△FBT
∴CE=TB
TE=TE
∴CT=BE