Question

高数幂级数的和函数问题求解答

高数幂级数的和函数问题求解答级数1+x^2+x^3+……+x^n+……的和函数为什么是1/1-x呢 这个不是等比数列吗？ 可是用等比数列求和公式得到的结果不是这个 求解答啊 那么（x-1/4）^n的和函数呢？

Answer 1

用求导及积分法比较好求：记f(x)=∑x^(2n-1)/(2n-1) 求导得：f'(x)=∑x^(2n-2) 这样右端就可以求和了，f'(x)=1/(1-x2)=1/2[1/(1-x)+1/(1+x)] 积分，就得到f(x)=C+1/2[-ln(1-x)+ln(1+x)] 由于有f(0)=0, 因此得C=0 故f(x)=1/2ln[(1+x)/(1-x)] 而∑1/[(2n-1)2^n]=1/√2∑1/[(2n-1) (√2)^(2n-1)] =1/√2 f(1/√2) =1/√2*1/2*ln[(1+1/√2)/(1-1/√2)] =1/√2*ln(√2+1)