Question

高数高手进

我老师说：可导》连续》有极限（指条件）。那么，可导，连续，有极限 充要条件分别是什么呢？答好再加分

Answer 1

连续:在某点连续就是该点的左右极限存在并相等，且等于该点的函数值
有极限：在某点存在极限指在该点的某一去心领域内 |f(x)-A|<e,e为任意正数则A为极限
可导：在某点可导是指在该点的某个领域内x的增量及对应的y的增量，y的增量与x的增量的比值当x增量趋向于0时极限存在，则在该点可导

他们的关系 可导肯定连续，例如在x0出可导，则△x->0时
lim[f(x0+△x)-f(x0)]/△x存在 分母为无穷小则lim[f(x0+△x)-f(x0)]=0这就说明在x0处连续
连续就不一定可导，比如折线的转折处
连续当然有极限，这个是没有问题的
有极限不一定可导，同样是折线的转折处
有极限不一定连续，可能哪一点没有定义
可导肯定有极限由上面的lim[f(x0+△x)-f(x0)]=0可以看出

Answer 2

导数在几何意义上是指的是函数在该点的斜率，可导的条件是左右倒数存在且相等。首先，函数在该点除有意义，要是无意义，那也就不能说在该点有切线了。有意义就要连续，故连续是可导的必要条件。不连续就当然不能导了。 就是说（连续＋切线斜率存在＝可导）象y＝x^(1/3)就是在x＝0处就是连续却不可导的典型。
有极限与函数在该点有无定义无干，它只考虑函数趋进（反正又不到达）该点时的情况。也有；（有极限＋有定义＝连续）。有极限就不多说了。
这都时考虑的在某一点是的情况。