Question

已知a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且√3asinC=2c+c·cosA

已知a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且√3asinC=2c+c·cosA(1)求角A
（2）若a=2√3，△ABC的的面积为√3，求b，c
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Answer 1

(1)
由正弦定理得√3sinAsinC=2sinC+sinCcosA
(√3/2)sinA-(1/2)cosA=1
sin(A-π/6)=1
A=⅔π
(2)
S△ABC=½bcsinA
S△ABC=√3，A=⅔π代入，得½bc·sin(⅔π)=√3
bc=4
由余弦定理得b²+c²-2bccosA=a²
(b+c)²=a²+2bc+2bccosA
a=2√3，bc=4，A=⅔π代入，得
(b+c)²=(2√3)²+2·4+2·4cos⅔π=16
b+c=4，又bc=4，b、c是方程x²-4x+4=0的两根
(x-2)²=0
x=2
b=c=2
b为2，c为2

Answer 2

1) 根据正弦定理可以知：a=DsinA;b=DsinB;c=DsinC;代入已知条件中可以得出sin(A-30)=1;则A=120°；2）(2)
S△ABC=½bcsinA
S△ABC=√3，A=120°代入，得½bc·sin(⅔π)=√3
bc=4
由余弦定理得b²+c²-2bccosA=a²
(b+c)²=a²+2bc+2bccosA
a=2√3，bc=4，A=⅔π代入，得
(b+c)²=(2√3)²+2·4+2·4cos⅔π=16
b+c=4，又bc=4，b、c是方程x²-4x+4=0的两根
(x-2)²=0
x=2
b=c=2