Question

已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=2^x。

1.求函数f(x)的解析式。
2.写出函数的单调区间
3.求函数的值域

很急啊！！！！

Answer 1

1. 令x>0 ,则-x<0
因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),且f(0)=0
又当x<0时, f(x)=2^x, 那么f(-x)=2^(-x)=-f(x)
所以当x>0时, f(x)=-2^(-x)
所以f(x)=
{ -2^(-x) x>0
{ 0 x=0
{ 2^(x) x<0

2.显然y=2^x是单调递增函数,所以当x<0 时, y=2^x单调递增
而y=-2^(-x)也是单调递增,所以当x>0时, y=-2^(-x)单调递增
所以f的单调区间是(负无穷,0)和(0,正无穷)
PS:函数f在x=0是一个特殊位置,是不连续点,不能算到单调区间进去

3.x<0时, f(x)=2^x 是递增的, 而当x→0时, f(x)→1,当x→负无穷,f(x)→0
此区间的值域是
(0,1)
x>0时, f(x)=-2^(-x)是递增的,当x→0时,f(x)→-1,当x→正无穷,f(x)→0
此区间的值域是(-1,0)
当x=0时,f(0)=0
综上f的值域为 (-1,1)