Question

变上限积分，上限为x等于被积函数的不连续点那么它还可以求导吗

Answer 1

如果被积的分段函数，分段点是可去间断点或跳跃间断点的话，那么变上限定积分函数将是连续的。但是这个变上限定积分函数在被积函数分段点处的左右导数将不相等，即在被积函数分段点处不可导。
例如f（x）=-1（x≤0）；1（x＞0）这个分段函数
其变上限定积分函数∫（0-x）f（t）dt就等于|x|这个函数
而|x|在f（x）的分段点x=0处是连续但不可导的。

追问

也就是有这个定义域但是在这个点不可以导

Answer 2

引用bill8341的回答：
如果被积的分段函数，分段点是可去间断点或跳跃间断点的话，那么变上限定积分函数将是连续的。但是这个变上限定积分函数在被积函数分段点处的左右导数将不相等，即在被积函数分段点处不可导。
例如f（x）=-1（x≤0）；1（x＞0）这个分段函数
其变上限定积分函数∫（0-x）f（t）dt就等于|x|这个函数
而|x|在f（x）的分段点x=0处是连续但不可导的。

可取间断点上变上限可导，因为被积函数左右极限存在且相同，故变上限函数导数左右连续且相同，由微分中值定理，导数函数在某点的左极限和右极限就是该点导数的左右极限（也就割线斜率的极限），又因为它连续，所以该点处导数存在，