Question

求微分方程y"-4y'＝0的通解

Answer 1

特征方程是r^2+4=0，那么特征根是r1=2i，r2=-2i，这种情况方程解具有形式，y=C1*cos2x+C2*sin2x。

可以代入原方程检验：y''=-4*C1*cos2x-4*C2*sin2x，4y=4*C1*cos2x+4*C2*sin2x，所以y''+4y=0。

一阶线性常微分方程通解方法为常数变易法，二阶常系数齐次常微分方程通解方法为求出其特征方程的解。偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。

扩展资料：

注意事项：

函数y=y(x)在区间I上连续，且有直到n阶的导数，将函数及各阶导数代入。

微分方程的特解对应的曲线为相应初值问题的积分曲线。若不给定初始条件，微分方程的通解在几何上对应一簇积分曲线。

许多实际问题中的微分方程模型，一般不能够求出精确解（解析解），即微分方程不一定存在有通解。

对于包含有个数少于微分方程阶数的任意常数的微分方程的解既不是通解，也不是特解，对应着微分方程的一组解。

参考资料来源：百度百科-通解

参考资料来源：百度百科-微分方程

Answer 2

解题过程如下：

y=C1*cos2x+C2*sin2x

代入原方程检验：y''=-4*C1*cos2x-4*C2*sin2x

4y=4*C1*cos2x+4*C2*sin2x

y''+4y=0

约束条件：

微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。

常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。

若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。

偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。

Answer 3

∵齐次方程y''-4y'=0的特征方程是r²-4r=0,
则特征根是r1=0，r2=4
∴齐次方程y''-4y'=0的通解是
y=C1e^(4x)+C2

Answer 4

Answer 5

y'=Ce^4x
y=C1e^4x+C2