Question

设函数f（x）＝∫0到1｜t²－x²｜dx（x＞0），求f′（x）并求f（x）的最小值

Answer 1

当x≥1时,被积函数F(t)=x²-t²
于是f(x)=x²t-t³/3|{0,1}=x²-1/3
∴f'(x)=2x,最小值为f'(1)=2
当0<x<1时,在区间[0,x]上有F(t)=x²-t²,在[x,1]上有F(t)=t²-x²
于是f(x)=∫{0,x}(x²-t²)dt+∫{x,1}(t²-x²)dt
=x²t-t³/3|{0,x}+t³/3-x²t|{x,1}
=x³-x³/3+1/3-x²-x³/3+x³
=4x³/3-x²+1/3
∴f'(x)=4x²-2x,最小值为f'(1/4)=-1/4
∴f'(x)在(0,+∞)上的最小值为-1/4

Answer 2

1/6，分类讨论设一个m，
讨论绝对值正负，化为一个二次函数
然后m最终取1/2是最小
最小值为1/6

Answer 3

题目有误…………